extra_toc

Introduzione

Gli Interest rate swaps sono derivati sui tassi, derivano il valore da un parametro esterno, solitamente l'euribor 3M (tre mesi) o 6M (sei mesi).

Questi derivati hanno spesso un fine di copertura, servono a trasformare il debito variabile dell'impresa in debito fisso, attraverso uno scambio di pagamenti con un'intermediario, che, sulla base di un capitale prefissato (nozionale) si impegna a corrispondere un tasso variabile, mentre il cliente corrisponde lo stesso capitale per il tasso fisso. La differenza (payoff) viene liquidata. Anche l'intermediario ha interesse all'Irs, perché trasforma i propri crediti fissi in variabili.

I derivati possono essere anche speculativi, in tal caso consentono allo scommettitore di puntare un moltiplicatore della posta posseduta. In caso di scommessa sbagliata, le perdite superano la posta e si va a debito.

In dottrina (tra gli altri Dolmetta), si ritiene che un'impresa non finanziaria non possa acquistare derivati speculativi.

Irs plan vanilla

L'Irs più semplice, detto plan vanilla, è uno scambio di variabile contro fisso. In caso di aumento dei tassi porta un flusso positivo per il cliente, in caso di diminuzione il flusso sarà positivo per l'intermediario.

Un esempio per comprenderne il funzionamento:

Impresa edile, a fronte di un investimento di € 100.000.000,00 di durata triennale ha accesso a finanziamenti variabili. Qualora l'euribor si incrementasse, l'onerosità dei finanziamenti aumenterebbe, il margine sull'operazione, oltre un certo livello di tassi, andrebbe in negativo. Si decide di coprirsi con un Irs dalle seguenti caratteristiche:

Scadenze                            tasso variab.                        gamba variab.                     gamba fissa

feb 18 -0,33% -110000 180571
giu 18 -0,32% -160000 270857
dic 18 -0,25% -125000 270857
giu 19 -0,04% -20000 270857
dic 19 0,22% 110000 270857
giu 20 0,45% 225000 270857
dic 20 0,68% 340000 270857
giu 21 0,88% 440000 270857
dic 21 1,06% 530000 270857
giu 22 1,19% 595000 270857
dic 22 1,29% 645000 270857
giu 23 1,38% 690000 270857

La gamba variabile si ottiene moltiplicando il nozionale per il tasso variabile per il tempo, quelle fissa moltiplicando il nozionale per il tasso fisso per il tempo.

Con una procedura matematica, conoscendo la curva variabile, si ottiene il tasso (fisso) che rende uguale a 0 la somma dei pagamenti (payoff) attualizzati all'inizio dell'Irs. Nell'esempio il tasso fisso = 0,5417%. Si avrà un Irs in pareggio (par).

Ma come si ottiene la curva variabile, in altre parole l'aspettativa (previsione) sui tassi euribor dei prossimi tre anni?

I principi contabili internazionali, richiamati dall'art.2426 c.c., impongono di utilizzare il fair value (valore di mercato).

Per i tassi euribor, pertanto, le quotazioni futures all'Ice di Londra. Basterà scaricare le quotazioni futures euribor 3M, trasformarle in tassi con il sistema zero coupon bond che si ottiene la curva variabile e, con opportuni passaggi matematici, il tasso fisso che rende uguale le due gambe, fissa e variabile, nel qual caso il mark to market è uguale a 0.

Nelle controversie giuridiche c'è chi sostiene che il mark to market non sia necessariamente pari a 0.

Se nell'esempio che precede si utilizzasse un tasso fisso dell'1%, il cliente subisce un mark to market negativo di oltre 2 milioni e mezzo di euro. In altre parole, qualora le aspettative dei tassi variabili fossero rispettate, il cliente pagherebbe all'intermediario tale importo.

Ma dove risiede la copertura, nell'esempio esaminato?

Poiché l'impresa ha una posizione debitoria variabile di circa 100.000.000 di euro, qualora l'euribor calasse, sopporterebbe flussi negativi nell'Irs, esattamente uguali al guadagno sul debito variabile. Se l'euribor aumentasse, riceverebbe flussi dall'irs uguali al maggior costo finanziario del debito variabile. La copertura sterilizza la variazione dei tassi! 

Funzionamento mercati finanziari

Ricevere un euro al rischio di pagarne un milione è uguale a pagare un euro col rischio di incassarne un milione” Markovitz.

Se al lettore si proponesse di ricevere 1 euro col rischio di pagarne 1000, con una lotteria inversa, difficilmente accetterebbe. Al contrario, pagare un euro e rischiare di incassarne 1.000 troverebbe diversi partecipanti.

Con i derivati, sovente, si confezionano coperture che consentono al cliente di guadagnare qualcosa, ma, in ipotesi di variazioni del parametro (tasso, cambio, ecc.) oltre una certa soglia, la perdita diventa enorme. In analogia con  la lotteria inversa, si offre al cliente un euro, col rischio potenziale di perderne 1.000.

Ovviamente quando questo avviene, le liti sono frequenti, anche perché né il cliente, né l’intermediario hanno compreso che nel derivato era presente il meccanismo descritto da Markovitz.

Per permettere al cliente di guadagnare qualcosa, vengono confezionati Irs con delle opzioni, del tipo: tasso variabile ma con un minimo (floor) e/o massimo (cap). Questi contratti sono molto pericolosi, sia per il principio della lotteria inversa di cui sopra, sia perché talvolta gli intermediari li utilizzano per vendere Irs sbilanciati a danno dei clienti. Nonostante le norme sulla trasparenza, che impongono appunto un contratto trasparente con l'indicazione del mark to market inziale, e nonostante l'onere di informazione e consulenza a carico degli intermediari, spesso si osservano contratti "esotici" (con opzioni incorporate) senza indicazione dello squilibrio iniziale, commercializzati al fine della copertura dei rischi, cosa che si ottiene soltanto con i plan vanilla.

Gli Irs esotici devono essere valutati nelle controversie, nella redazione dei bilanci (OIC32) e, sarebbe opportuno, prima dell'acquisto. Sembra impossibile, ma molte imprese, anche di medio-grande dimensioni, acquistano Irs complessi senza alcuna valutazione del mark to market. 

Modello di calcolo del mark to market di un irs 

Si è visto che, ove possibile, la valutazione va effettuata al fair value. Nei contratti Irs plan vanilla le curve euribor e irs sono reperibili perché c'è un mercato con quotazioni, pertanto la valutazione  si effettua al fair value agevolmente.

Quando il derivato presenta delle opzioni, la situazione si complica perché le contrattazioni delle opzioni sui tassi non eccedono un anno, massimo un anno e mezzo. Il Floor di un mutuo ventennale, o di un Irs, è un portafoglio di opzioni put a scadenza ventennale. Si vende all'intermediario il diritto di acquistare il tasso sulle rate al floor concordato. Per valutare detto floor, manca quindi il fair value.

Il sistema più utilizzato in finanza è il "Montecarlo", metodo numerico basato su procedimenti probabilistici, usato in statistica per la risoluzione di problemi di varia natura, che presentano difficoltà analitiche non altrimenti o difficilmente superabili. Prende nome dal casinò di Monte Carlo, simbolo del gioco d’azzardo per antonomasia, ed è stato elaborato da Enrico Fermi e Jon Von Neumann, quest’ultimo è il creatore del primo computer. Queste simulazioni sono utili per comprendere le caratteristiche anche delle serie storiche finanziarie e delle probabilità ad esse collegate.

Con tale tecnica, si simulano un numero elevato di possibili percorsi che il titolo sottostante può seguire dalla data di valutazione t0 fino alla data di scadenza tn. Successivamente, in corrispondenza di ciascuno di essi, si determinerà il valore dell’opzione, e la media attualizzata di tutti i risultati ottenuti costituirà il prezzo corrente del derivato in oggetto.

Concettualmente il metodo si basa sulla possibilità di eseguire, utilizzando numeri estratti a caso (numeri casuali), un campionamento di una distribuzione di probabilità assegnata, F(X); ossia sulla possibilità di generare una sequenza di eventi X1, X2, ..., Xn, ..., distribuiti secondo la F(X). In pratica, invece di servirsi di un campione di numeri effettivamente estratti a caso, si ricorre a una sequenza di numeri ottenuti con un processo iterativo ben determinato; tali numeri vengono detti pseudo-casuali giacché, pur non essendo casuali, hanno proprietà statistiche analoghe a quelle dei veri numeri casuali.

Una delle caratteristiche principali del metodo è che la soluzione ottenuta non è mai esatta, benché rigorosa in senso statistico. L’incertezza sulla soluzione è tanto minore quanto più grande è il campione statistico.

Accenno ai numeri casuali 

Una variabile casuale è una variabile che assume determinati valori con determinate probabilità. Ad una variabile casuale è associata una regola che assegna a ciascun valore che la variabile può assumere la corrispondente probabilità.

Una variabile casuale continua può assumere un numero infinito di valori compresi in un intervallo. La probabilità si assegna sugli intervalli, rappresentati come delle aree su degli intervalli.

 σ2 = varianza, si ottiene dalla somma dei quadrati delle differenze tra i valori xi della distribuzione X e il valore medio μ.

Es: distribuzione statistica 7,5,8,4,6 

μ=(7+5+8+4+6)/5=6

σ2 = ((7-6)2+(5-6)2+(8-6)2+(4-6)2+(6-6)2)/5= 2.

Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza, viene rappresentata con σ.

Si noti che: 

a) una variazione della media μ determina uno slittamento della curva, a parità di forma, sull'asse x;

b) un aumento o una diminuzione della varianza determina una minore o maggiore concentrazione di valori attorno alla media, quindi appiattimento della curva o allungamento.

Posto μ = 5, scarto quadratico medio = 0,2, qual'è la probabilità di trovarsi tra 5,12 e 5,30?

Il risultato dell'integrale è una probabilità del 0,2075.

Con excel, si possono effettuare i complicati calcoli sopramenzionati con la formula=DISTRIB.NORM.N(X,μ;σ2;vero).

La funzione calcola la probabilità che l'evento sia tra - ∞ e x.

Applicandola all'esempio:  =DISTRIB.NORM.N(5,30;5;0,2;VERO)-DISTRIB.NORM.N(5,12;5;0,2;VERO) = 0,933193 - 0,725747 = 0,207446.

 

 L'area in grigio è pertanto 0,2075.

 La funzione inversa, consente di ottenere, dalla probabilità, x.

Dato 0,933193, con  =INV.NORM.N(0,933193;5;0,2)=5,30.

Sistema Montecarlo con excel

Utilizzando la formula INV.NORM.N, il primo valore sarà un valore di probabilità che varia da 0 e 1 in maniera uniforme con la formula di excel "CASUALE()"; il secondo, media, si utilizza il future euribor 3M, il terzo è la deviazione standard. Questa può essere ricavata osservando l'andamento storico dei tassi. Per un Irs di tre anni, si potrebbe calcolare la deviazione standard degli ultimi tre anni dell'euribor, oppure dell'ultimo anno per il primo anno di irs, del secondo per il secondo, ecc. Questo valore è il più opinabile, prendere un arco temporale limitato fornisce un σ2 piccolo che potrebbe non rappresentare il prevedibile andamento della variabile, e viceversa. 

A questo punto si ottengono dei valori casuali, con distribuzione normale, ognuno dei quali fornisce un tasso. Poiché l’incertezza sulla soluzione è tanto minore quanto più grande è il campione statistico, occorrerà fare molte simulazioni, non meno di mille, consigliate 10.000.

L'ordine di grandezza dell'errore è 1/√(n.ro simulazioni). Per diecimila simulazioni l'errore è dell'1%.

Si vuole applicare il metodo Montecarlo all'esempio sopra riportato, se il metodo funziona, la sommatoria dei Payoff (per comodità non attualizzata alla stipula) dovrebbe tendere a 0.

Per ogni scadenza la gamba variabile ( nozionale x tempo x tasso ) sarà:

100.000.000 x 180/360 x  INV.NORM.N(casuale();Future;σ)

In primo luogo si determina la deviazione standard dalle serie storiche. Si sono prese i dati medi mensili euribor dal 1/1/2012 al 31/12/2004, con la formula =DEV.ST.P(intervallo), si ottiene 0,002642.

Gli altri dati sono conosciuti, pertanto, per ogni scadenza, si creano almeno 1.000 simulazioni. si ottengono almeno mille payoff. Il valore medio "MEDIA(intervallo) non si deve discostare dal Payoff che si ottiene utilizzando il tasso future.

Applicando il sistema a tutte le scadenze, un foglio excel per scadenza, il modello ottiene un risultato.

Verifica risultati del modello Montecarlo proposto

L'esempio della tabella, è un fisso al tasso 0,5417% contro variabile euribor. Il risultato, senza attualizzazione delle rate, fornisce un mark to market = 83.

Applicando il modello proposto, con deviazione standard calcolata sul periodo dal 2012 al 2014 su mille simulazioni, il grafico dei risultati è il seguente:

 

Il mark to market ottenuto varia da + 30.000 a - 30.000.

Applicando il modello proposto, con deviazione standard calcolata sul periodo dal 2012 al 2014 su diecimila simulazioni, il grafico dei risultati è il seguente:

 

Il mark to market ottenuto varia da + 20.000 a - 20.000, confermando che la precisione cresce al crescere delle simulazioni.

Nelle simulazioni analizzate si sono utilizzati dati storici dell'euribor volutamente sbagliati. Nel gennaio 2012 l'euribor 3M era 1,22%, nel dicembre 2014 lo 0,08%, la variabilità dei tassi è stata notevole,

Utilizzando i dati storici euribor 3M dal 2015 al 2017, la variabilità dei tassi è stata inferiore, con una deviazione standard di circa la metà. L'applicazione del modello fornisce i risultati rappresentati dal grafico che segue:

 

Il mark to market ottenuto varia da + 10.000 a - 17.000.

Si ricorda che il risultato è -83, mentre il modello fornisce valori molto variabili.

Calcolando la media di dieci risultati, si ottiene 2.271. Su altri dieci risultati la media è -3.398, -2.859, 3809.

La media di tutti i 40 risultati è 68, valore molto vicino al - 83.

Dall'analisi dei modelli, si può concludere che la variabilità dei risultati è molto approssimata, ma la media di un campione di qualche decina di risultati fornisce un valore molto vicino a quello cercato, cioè attendibile.

Si applica il modello ad un Irs non par, il cui mtm è negativo di 134.917 euro.

 

Si ottengono 20 risultati, la cui media è 134.627, valore molto vicino a quello cercato.

Si può concludere che aumentando il numero delle simulazioni (nel modello sono 10.000, potrebbero essere 100.000) e il numero di risultati sui quali fare la media, il valore diventa sempre più esatto.

Calcolo del mark to market di un mutuo con floor

Diversi contratti di mutuo a tasso variabile prevedono il cosiddetto "floor"; questo significa che il tasso di ciascun periodo non può essere inferiore ad un valore prefissato dal contratto, qualunque sia il valore del tasso sottostante. In questo modo la banca si garantisce un tasso minimo, indipendentemente dall'andamento del mercato.

Ad ogni scadenza il creditore può scegliere se applicare il tasso variabile o, se più conveniente, il tasso floor. Tecnicamente il floor è un portafoglio di opzioni put (che il debitore vende al mutuante). Per valutare correttamente il tasso effettivo del mutuo occorre quindi calcolare il valore di tali opzioni alla stipula del contratto.

Posto un mutuo di €16.100,00, 50 rate mensili, decorrenza 27/7/05, rata di €306,34, tasso 5,34%, tasso minimo 5,34% si vuole: a) ricostruire il piano di ammortamento; b) valutare il floor (o il valore delle opzioni put).

a) ricostruire il piano di ammortamento: il capitale all'inizio del periodo per il tasso alla stipula per il tempo fornisce la quota interessi. Alla rata si sottrae la quota interessi e si ottiene la quota capitale. Il periodo successivo si sottrae al debito la quota capitale, ottenendo il debito residuo. Questo si moltiplica per il tasso per il tempo, si ottiene la quota interessi della seconda rata. Per differenza la quota capitale della seconda rata, e così via.

 b) valutare il floor, ovverosia le opzioni put: il giorno di definizione del contratto l'euribor 3M era il 2,13%, il tasso del mutuo il 5,34%, per differenza si ottiene lo spread del 3,21%.

Recuperata la Yield curve dei futures euribor 3M al 27/7/05 (reperibile acquistandola da ASB), si ottengono le aspettative di tasso alle scadenze.

La deviazione standard è quella del tasso storico euribor 3M dei cinque anni precedenti.

Per ogni scadenza, la formula  INV.NORM.N(casuale();Future;σ) in colonna 4 fornisce il tasso ottenuto da un numero casuale, con deviazione standard (σ) da riga precedente, e media da tasso future. 

La colonna successiva presenta la formula =SE((col4+3,21%)<0,0534;5,34%;col4+3,21%) che pone la condizione di utilizzare il floor del 5,34% allorquando il tasso scende al di sotto di tale limite.

In colonna i con floor si ottiene il tasso con il floor, nella colonna successiva il tasso senza il floor, quindi senza l'opzione put. Nella colonna I senza floor, si moltiplica il tasso senza floor per il debito inizio periodo del mutuo per il tempo. In quella successiva, stessa operazione, ma per il tasso con floor. La differenza tra le due quote interessi, rappresenta il valore dell'opzione put.  

Con almeno 1.000 simulazioni per scadenza, si applica il sistema Montecarlo che fornisce la valutazione della opzione put, cioè del tasso floor della singola rata. Si ripeterà la simulazione per ogni rata. La somma di tutte le opzioni put sarà il valore del floor.

Calcolo del mark to market di un irs esotico

 "La categoria delle opzioni esotiche fa riferimento a tutti i contratti di opzione in cui il calcolo del payoff presenta elementi di novità rispetto alle opzioni plain vanilla" (Glossario Borsa italiana).

In presenza di un derivato con le seguenti caratteristiche:

nozionale = € 1.000.000; data inizio = 6/4/2004; scadenza = 7/4/2009; Parametro banca = secondo gg. antecedente inizio di ciascun periodo. Il parametro viene applicato al periodo successivo (in advance); Tasso parametro banca = Euribor 6M; Parametro cliente = secondo gg. antecedente inizio di ciascun periodo. Il parametro viene applicato al medesimo periodo in cui avviene la rilevazione (in arrears); Tasso parametro cliente: dal 6/4/2004 al 6/4/2005 Euribor 6M - 0,25%; dal 6/4/2005 al 10/4/2007 al verificarsi dell'evento a, Euribor 6M, al verificarsi evento b, 2,4%, al verificarsi dell'evento c Euribor 6M+0,7%; Evento a = Euribor 6M<1,9%; Evento b = 1,9%=<Euribor 6M<3,75%; Evento c = 3,75%=<Euribor 6M; dal 10/4/2007 al 6/4/2009 al verificarsi dell'evento a, Euribor 6M, al verificarsi evento b, 2,8%, al verificarsi dell'evento c Euribor 6M+0,7%; Evento a = Euribor 6M<2,4%; Evento b = 2,4%=<Euribor 6M<4,25%; Evento c = 4,25%=<Euribor 6M;

si vuole procedere alla valutazione col sistema Montecarlo, utilizzando excel. 

In primo luogo si calcola la deviazione standard dei dati storici euribor dei 5 anni precedenti la stipula con la formula =DEV.ST.C(intervallo).

I valori medi sono i tassi ottenuti dai futures euribor3M, integrati del differenziale rispetto all'Euribor 6M. Occorre inoltre interpolare i dati delle scadenze futures con le scadenze dell'irs in esame.

In excel calcolo per ogni scadenza il pagamento della banca (nozionale x future interpolato x 180/360) e del cliente (nozionale x parametro cliente x 180/360).

Il parametro cliente, sarà l'Euribor 6M-0,25% per le prime due scadenze, il valore espresso dalla formula =SE(i<1,9/100;i;SE(i<0,0375;0,024;i+0,007)) per le scadenze dalla terza alla settima, il valore espresso dalla formula =SE(i<=0,024;i;SE(i<0,0425;0,028;i+0,007)) per le rate dalla ottava alla undicesima, i si ottiene con la formula =INV.NORM.N(casuale();future;σ).

Il modello richiede un grande numero di calcoli e formule, occorre controllare i vari passaggi per evitare errori. Si consiglia pertanto di elaborare nel primo foglio excel i dati storici euribor, le curve futures e un prospetto dei pagamenti banca e cliente con le formule adeguate. Per ogni riga si costruirà un foglio excel, con 10.000 simulazioni. Ogni foglio, corrispondente ad ogni scadenza, fornirà un valore medio dei payoff attualizzati. La somma dei valori medi di ciascuna scadenza fornisce il mark to market iniziale.