Un breve ripasso dei valori attuali, o capitali da investire nei regimi di capitalizzazione semplice, composta e continua può essere eseguito sulla dispensa di matematica finanziaria scaricabile da www.unite.it.

In regime di capitalizzazione semplice, se l'incognita è il capitale da investire K, K=M/(1+it), dove K è il capitale iniziale, t il tempo, i il tasso, M il montante. In termini essenziali, si tratta di “riportare indietro”, dal tempo t > 0 al tempo t = 0, il capitale M scontandolo al tasso i. Ovviamente il valore attuale K è minore di M.

In regime di capitalizzazione composta, noti i valori del montante M, del tasso i e del tempo t, è possibile ottenere il valore di K o capitale da investire. K esprime il valore attuale, o valore al tempo t = 0, del capitale a scadenza M con la formula: K=M/(1+i)t=M(1+i)-t

Esempio: M=130, t=3 anni e 5 mesi, i=8% => K=130(1+0,08)-3,4167=99,94.

In regime di capitalizzazione continua, la capitalizzazione degli interessi avviene istante per istante o in modo continuo. Se l'incognita è il capitale da investire K o il valore attuale di M, la formula è: K=Me-it dove e = 2,71828183.

Esempio: M=139,84; t=4anni; i=6%; si cerca K, il valore attuale di M => M=139,84e-(0,06)(4)=110.


 Si applicano le citate formule, con excel, alle rate di un leasing dalle seguenti caratteristiche: erogato 203.500, 95  canoni mensili anticipati da 2555,75, riscatto 40.700.

Per ottenere il tasso, ogni rata va attualizzata al momento dell'erogazione. Il tasso cercato è quello che rende uguali la sommatoria delle rate attualizzate con l'erogato. Si portano quindi maxicanone, 95 rate e riscatto al punto 0 in regime di capitalizzazione composta con la formula di attualizzazione 1/(1+i)t. In excel diventa =1/(1+i)^(n.ro rata-1). Si noti che i è periodale mensile, quindi Tan annuale/12. La rata 4, corrisponde al mese 4°, ma essendo anticipata sarà (4-1).

                        rata   quota cap.      quota int.      deb.resid    =1/(1+$A$1)^(Bx-1)   rata al tempo 0 (K)

 

01/11/2012 3 2555,75 1230,22      1325,52        198388,5         0,986769826           2521,93

01/12/2012 4 2555,75 1238,44      1317,30       197158,27       0,980220523            2505,19

01/01/2013 5 2555,75 1246,71      1309,03       195919,82       0,973714689            2488,57

01/02/2013 6 2555,75 1255,04      1300,70       194673,10       0,967252035            2472,05

01/03/2013 7 2555,75 1263,43      1292,31        193418,05      0,960832274            2455,64

e così via fino al riscatto. L'ultima colonna rappresenta la rata attualizzata al tasso corretto. Il tasso cercato si ottiene per tentativi, sarà quel tasso (in A1) che rende uguali la somma della colonna finale all'erogato di 203.500. Per approfondimento e spiegazione del criterio vedasi "Mutui e leasing nel contenzioso bancario" si A.Fontanelli, Ed.ASB.

Comunque, ottenuto il tasso del 8,02%, si moltiplica al debito di 203.500 per il tempo (30/360) e si ottiene la quota interessi della prima rata di 1.325,52. La quota capitale è la differenza tra 2555,75 e la quota interessi. Questa quota capitale va a diminuire il debito iniziale, pertanto la quota interessi della seconda rata si ottiene moltiplicando il debito ridotto per il tasso per il tempo, e così via.


E' possibile attualizzare le rate in regime di capitalizzazione semplice, applicando la formula di attualizzazione in excel =1/(1+i*t). Nel leasing sopra riportato si ottiene il tasso del 10%. 

rata

=1/((1+($A$1*Bx-1))

rata al tempo 0 (K)
     
3 0,97560976 2493,415
4 0,96774194 2473,306
5 0,96 2453,52
6 0,95238095 2434,048
7 0,94488189 2414,882

E' possibile attualizzare le rate in regime di capitalizzazione continua, applicando la formula di attualizzazione in excel  =exp(-i*t). Nel leasing sopra riportato si ottiene il tasso del 7,68%. 

  =exp(-$d$3*j/12)           K    
3   98,10% 2.507,18
4   97,47% 2.491,19
5   96,85% 2.475,31
6   96,24% 2.459,53
7   95,62% 2.443,85

I calcoli effettuati evidenziano come sia possibile attualizzare le rate in regimi di capitalizzazione differenti, ottenendo diversi risultati, cioè tassi. Questa accademica possibilità, non ha alcun riscontro nella realtà. Tutti i finanziamenti pluriennali sono sempre in regime di capitalizzazione composta. Tuttavia, ci sono alcuni studiosi che si chiedono se il regime di capitalizzazione composta, nei mutui a rata costante contenga un effetto anatocistico e se la mancata precisazione nel contratto del regime adottato, renda il contratto indeterminato. Entrambe le ipotesi sono infondate, si cercherà di spiegarne i motivi.

Effetto anatocistico nei mutui a rata costante

L’attualizzazione delle rate al punto 0 viene effettuata in regime di capitalizzazione composta, che così può essere definito: “il regime di capitalizzazione composta si caratterizza per il fatto che, al termine di ogni periodo, il capitale impiegato incorpora gli interessi maturati, in modo che anche questi ultimi producano interessi nei periodi seguenti”. Questo significa che nell'attualizzazione delle rate si otterrà un valore inferiore rispetto, ad esempio, al regime di capitalizzazione semplice. Nel caso di cui sopra il 8,02% rispetto al 10%. Ma la quota interessi della rata viene calcolata sul debito, non sul debito e gli interessi. Non c'è alcun effetto anatocistico vietato ex 1283 c.c. o anche delibera CICR 9/2/2000, art.3. Queste norme, regolano la produzione di interessi sugli interessi, che nel mutuo (o leasing) a rata costante, non c'è.

Indeterminatezza contrattuale 

Alcuni sostengono che la mera indicazione del tasso (tan), senza la precisazione del regime di capitalizzazione adottato, renderebbe il costo dell'operazione indeterminato. Qui l'errore sta nel considerare i regimi diversi dalla capitalizzazione composta regimi alternativi di calcolo del costo del finanziamento. Se questo è vero per un mero studio accademico, nei fatti nessuno ha mai erogati mutui se non in regime di capitalizzazione composta. Inoltre, ogniqualvolta il legislatore ha affrontato il calcolo del tasso dei mutui, ha sempre utilizzato il regime di capitalizzazione composta (Cfr La direttiva 2014/17/UE, Istruzioni sulla trasparenza di B.Italia, L.142 del 19/2/92, Istruzioni Banca Italia ai fini dell'usura).

Conclusioni

I due elementi che compongono un finanziamento sono i flussi in entrata (erogato) e di restituzione. Nei finanziamenti pluriennali, per convenzione, si utilizza il regime di capitalizzazione composta, che fornisce un tasso, indicatore sintetico del costo del finanziamento. La normativa sulla trasparenza impone l'indicazione di detto tasso come elemento sintetico di comprensione dell'onerosità del finanziamento. Ma detto tasso ha un significato se e solo se è nel regime convenzionale. Cambiando il regime, cambia il significato.

Si potrebbe utilizzare questa analogia per spiegare il concetto: per la costruzione di un ponte,  si è convenuto il pagamento al metro. Realizzata l'opera, il committente non intende pagarlo perché, utilizzando i piedi o altro sistema di misurazione, il calcolo risulta differente. Il ponte è sempre lo stesso, ma utilizzando diversi parametri, la lunghezza sarà diversa.

Nei finanziamenti, i due flussi in entrata e in uscita rappresentano l'oggetto dell'accordo. Il tasso è un parametro di misurazione che utilizza il regime di capitalizzazione composta. Se si utilizzasse un altro regime il tasso sarebbe diverso, ma, poiché il regime convenzionale è in capitalizzazione composta, il tasso deve necessariamente riferirsi a tale regime, altrimenti si confrontano le classiche mele con le pere.